Question

證明：如果函數y=f（x）在點x₀處可導，那么函數y=f（x）在點x₀處連續．

Answer 1

分析：要證明f（x）在點x₀處連續，就必須證明x→x₀時，f（x）的極限值為f（x₀），由f（x）在點x₀處可導，根據函數在點x₀處可導的定義，逐步進行兩個轉化，一個是趨向的轉化，一個是形式（變成導數定義的形式）的轉化．

解答：證明：設x=x₀+△x，則當x→x₀時，△x→0
則

lim

x→x0

f（x）=

lim

△x→0

f（x₀+△x）=

lim

△x→0

[f（x₀+△x）-f（x₀）+f（x₀）]=

lim

△x→0

[

f(x0+△x)-f(x0)

△x

•△x+f（x₀）]
=

lim

△x→0

f(x0+△x)

△x

•

lim

△x→0

△x+

lim

△x→0

f（x₀）=f′（x₀）•0+f（x₀）=f（x₀）
∴函數f（x）在點x₀處連續．

點評：此題考查學生掌握函數連續的定義，靈活運用導數的定義．解題時要正確理解函數的連續性．