Question

已知函數的圖象在點P（0，f（0））處的切線是3x-y-2=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設t∈[-2，-1]，函數g（x）=f（x）+（m-3）x在（t，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2x+a，所以切線的斜率k=f′（0）=a，
又切線方程為3x-y-2=0，故a=3．
∵點P（0，b）在切線上，∴b=-2．…（5分）
（Ⅱ）因為，
所以，
所以g′（x）=x²-2x+m，
又g（x）是（t，+∞）上的增函數，所以g′（x）≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，…（7分）
即t²-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，
又函數h（t）=t²-2t+m在t∈[-2，-1]是遞減函數，
所以h（x）_min=h（-1）=m+3≥0，
所以m≥-3．…（12分）
分析：（Ⅰ）求導數，利用導數的結合意義，即可求a、b的值；
（Ⅱ）求得函數g（x）的解析式，利用函數在（t，+∞）上為增函數，可得t²-2t+m≥0在t∈[-2，-1]上恒成立，利用函數的單調性，即可求m的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．