Question

數列{a_n}前n項和為Sn=n2+2n，等比數列{b_n}各項為正數，且b₁=1，{ban}是公比為64的等比數列．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）證明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求數列{a_n}的通項公式，進而可得{b_n}的通項公式；
（2）由題意可知

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由裂項相消法可求和為

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，顯然小于

3

4

．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=3，
n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-{(n-1)2+2(n-1)}=2n+1
經驗證，當n=1時，上式也適合，故a_n=2n+1．
設{b_n}公比為q，則

ba2

ba1

=

b5

b3

=q2=64，
因為{b_n}各項為正數所以q=8，∴bn=8n-1，
故數列{a_n}與{b_n}的通項公式分別為：a_n=2n+1，bn=8n-1
（2）由題意可知

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

故原不等式得證．

點評：本題為數列的綜合應用，涉及通項公式和裂項相消法求和，以及不等式的證明，屬中檔題．