Question

【題目】已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點. 設過點的動直線與相交于兩點.

（1）求的方程；

（2）是否存在這樣的直線，使得的面積為，若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在這樣的直線：或.

【解析】

（1）由可求得，再由離心率求得，最后由公式可得，從而橢圓標準方程；

（2）假設存在，分析斜率一定存在，設其方程為，同時設交點，

聯立消去得， 注意，得的范圍，由韋達定理得. 由圓錐曲線中弦長公式求得弦長，求得點到直線的距離，表示出三角形的面積，由解得，說明存在．

（1）設，因為直線的斜率為，

所以，.

又，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）當軸時，不合題意，由題意可設直線的方程為：，

聯立消去得，

當，所以，即或時 ，

.

所以 ，

點到直線的距離，

所以，

設，則，

，解得或，即，

所以存在這樣的直線：或.