Question

已知橢圓Γ的方程為（a>b>0），A（0，b） 、B（0，-b）和 Q（a，0）為Γ的三個頂點。
（Ⅰ）若點M滿足，求點M的坐標；
（Ⅱ）設直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于點E。若k₁·k₂=-，證明：E為CD的中點；
（Ⅲ）設點P在橢圓Γ內且不在x軸上，如何作過PQ中點F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個交點P₁、P₂滿足？令a=10，b=5，點P的坐標是（-8，-1）。若橢圓Γ上的點P₁、P₂滿足，求點P₁、P₂的坐標。

Answer 1

解：（Ⅰ）設點M的坐標為（x₀，y₀），由題意可知

∴點M的坐標為；
（Ⅱ）證明：由
得（b²+a²k₁²）x²+2a²k₁px+a²p²-a²b²=0
∴CD的中點坐標為


由
得l₁與l₂的交點E的坐標為
∴l₁與l₂的交點E為CD的中點；
（Ⅲ）設OF的斜率為k₁，過F作斜率為的直線交橢圓P₁、P₂兩點
由（Ⅱ）可知，F是P₁P₂的中點，四邊形PP₁QP₂是平行四邊形
所以
直線P₁P₂即為所求；
由a=10，b=5及點P（-8，-1）得PQ中點為
OS的斜率
過點S且斜率的直線l的方程是y=
記l與T的交點為P₁、P₂，則
由
解得P₁（8，3），P₂（-6，-4）。