Question

已知橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C₁交于不同的兩點A、B，且滿足|OA|²+|OB|²＞|AB|²，（其中O為原點），求l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出雙曲線的標準方程，根據根據橢圓方程求得雙曲線的左右頂點和焦點，進而求得雙曲線方程中的a和b，則雙曲線方程可得．
（2）將直線代入雙曲線方程消去y，進而根據判別式求得k的范圍，設出A，B的坐標，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，由|OA|²+|OB|²＞|AB|²，可得∠AOB為銳角，從而有

OA

•

OB

＞0求得關于k的不等式，求得k的范圍，最后綜合求得答案．

解答：解：（1）∵橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1左、右頂點分別為（2，0），（-2，0），左、右焦點分別為（-

3

，0），(

3

，0)
可設C₂的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1．
故C₂的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：y=kx-2，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0
∴x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1•x2=

3

k2+ 1 4

一會
由△=(4k)2-4(k+

1

4

)×3=4k2-3＞0得：k＜

3

2

或k＞-

3

2

∵|OA|²+|OB|²＞|AB|²，
∴0°＜∠AOB＜90°
∴cos∠AOB＞0
∴

OA

•

OB

＞0
即

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

+4=

-k2+1

k2+ 1 4

∵

3

k2+ 1 4

+

-k2+1

k2+ 1 4

＞0，即k²＜4
∴-2＜k＜2
故由①、②得-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜2

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，是高考的熱點．