Question

已知：

a

=(3，2)，

b

=(-1，2)，

c

=(4，1)
（1）求|3

a

+

b

-

c

|
（2）求滿足條件

a

=m

b

+n

c

的實(shí)數(shù)m，n．
（3）若向量

d

滿足(

d

-

c

)∥(

a

+

b

)，且|

d

-

c

|=1求

d

．

Answer 1

分析：（1）由

a

=(3，2)，

b

=(-1，2)，

c

=(4，1)，我們易求出3

a

+

b

-

c

的坐標(biāo)，代入向量模的公式，即可得到答案．
（2）由

a

=(3，2)，

b

=(-1，2)，

c

=(4，1)及

a

=m

b

+n

c

，我們可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m，n的方程組，解方程組，即可得到實(shí)數(shù)m，n的值．
（3）若(

d

-

c

)∥(

a

+

b

)，由向量的共線定理，我們易得

d

-

c

=λ(

a

+

b

)，又由|

d

-

c

|=1，我們可以得到一個(gè)關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，進(jìn)而求以求出向量

d

的坐標(biāo)．

解答：解：（1）3

a

+

b

-

c

=3(3，2)+(-1，2)-(4，1)=（4，7）（3分）
∴|3

a

+

b

-

c

|=

42+72

=

65

（5分）
（2）由

a

=m

b

+n

c

得
（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n）（6分）
∴

-m+4n=3 2m+n=2

（8分）
∴

m= 5 9 n= 8 9

（10分）
（3）

a

+

b

=(2，4)，(

d

-

c

)∥

(a

+

b

)
∴

d

-

c

=λ(

a

+

b

)=(2λ，4λ)（λ∈R）（11分）
∴|

d

-

c

|=

(2λ)2+(4λ)2

=1∴λ=±

5

10

（14分）
∴λ=

5

10

時(shí)，

d

=

c

+λ(2，4)=(4+

5

5

，1+

2

5

5

)，（15分）λ=-

5

10

時(shí)，

d

=

c

+λ(2，4)=(4-

5

5

，1-

2

5

5

)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：判斷兩個(gè)向量的關(guān)系（平行或垂直）或是已知兩個(gè)向量的關(guān)系求未知參數(shù)的值，要熟練掌握向量平行（共線）及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即“兩個(gè)向量若平行，交叉相乘差為0，兩個(gè)向量若垂直，對(duì)應(yīng)相乘和為0”．