Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求方程的實數解；

（Ⅱ）如果數列滿足，（），是否存在實數，使得對所有的都成立？證明你的結論．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設數列的前項的和為，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）存在使得;（Ⅲ）見解析.

【解析】（Ⅰ）由題意，通過解分式方程即可得方程的實數解析；（Ⅱ）通過函數的單調性判斷數列通項的范圍，再利用數學歸納法進行證明；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得通項的范圍，構造新數列，通過計算數列的前和及其范圍，再利用數學歸納法證明之.

試題解析：（Ⅰ）；

（Ⅱ）存在使得．

證法1：因為，當時，單調遞減，所以．因為，所以由得且．下面用數學歸納法證明．

因為，所以當時結論成立．

假設當時結論成立，即．由于為上的減函數，所以，從而，

因此，

即．

綜上所述，對一切，都成立，

即存在使得．

證法2：，且

是以為首項，為公比的等比數列.

所以.

易知，所以當為奇數時，；當為偶數時，

即存在，使得.

（Ⅲ）證明：由（2），我們有，從而.

設，則由得.

由于，

因此n=1，2，3時，成立，左邊不等式均成立．

當n>3時，有，

因此．

從而．即．

解法2: 由（Ⅱ）可知，所以

，所以

所以

所以當為偶數時，；所以當為奇數時，

即.(其他解法酌情給分)