Question

【題目】已知,設,且,記;

（1）設,其中,試求的單調區間;

（2）試判斷弦的斜率與的大小關系,并證明;

（3）證明：當時,.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見證明；（3）見證明

【解析】

（1）（），對其求導，討論的范圍即可判斷的單調區間；（2），,二者作差，，令，構造函數，通過求導可判斷的單調性，從而可得到，即可判斷；（3）當時，原不等式等價于，由（2）知，即證，轉化為，構造函數，通過求導可判斷它的單調性進而得到，從而證明了結論。

（1）（），

若，則，是上的增函數，

若，則的增區間為，減區間為.

（2），,

則，

令，則，

令，，

而，則在單調遞增，且恒為正，

又因為，所以，即.

（3）當時，原不等式等價于，由（2）知，即證，轉化為.

令，，

令，則，

當時，，故在上單調遞增，

則，故在上單調遞增，

則，故時，成立，即當時,.