Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的圖象過點B（0，﹣1），且在（ ， ）上單調，同時f（x）的圖象向左平移π個單位之后與原來的圖象重合，當x1 ， x2∈（﹣ ，﹣ ），且x1≠x2時，f（x1）=f（x2），則f（x1+x2）=（ ）
A.﹣
B.﹣1
C.1
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由函數f（x）=2sin（ωx+φ）的圖象過點B（0，﹣1），

∴2sinφ=﹣1，解得sinφ=﹣ ，

又|φ|＜ ，∴φ=﹣ ，

∴f（x）=2sin（ωx﹣ ）；

又f（x）的圖象向左平移π個單位之后為

g（x）=2sin[ω（x+π）﹣ ]=2sin（ωx+ωπ﹣ ），

由兩函數圖象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；

又 ﹣ ≤ = ，

∴ω≤ ，∴ω=2；

∴f（x）=2sin（2x﹣ ），其圖象的對稱軸為x= + ，k∈Z；

當x1，x2∈（﹣ ，﹣ ），其對稱軸為x=﹣3× + =﹣ ，

∴x1+x2=2×（﹣ ）=﹣ ，

∴f（x1+x2）=f（﹣ ）

=2sin[2×（﹣ ）﹣ ]

=2sin（﹣ ）

=﹣2sin

=﹣2sin =﹣1．

應選：B．

【考點精析】掌握函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換是解答本題的根本，需要知道圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．