Question

已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，其外接圓為．

(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且被截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程；

(2)對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求的半徑的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求的外接圓方程可用待定系數(shù)法或利用兩邊垂直平分線的交點(diǎn)先求出圓心，再利用兩點(diǎn)之間距離公式求出半徑，求出圓的方程后再利用待定系數(shù)法求出直線的方程，此時(shí)要注意分直線斜率存在和不存在兩種情況討論；（2）可設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把點(diǎn)的坐標(biāo)用其表示，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，利用方程組恒有解去考察半徑的取值范圍，但要注意三點(diǎn)不能重合，即圓和線段無(wú)公共點(diǎn).

試題解析：(1)線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，的方程為． 4分

設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本�被截得的弦長(zhǎng)為2，所以．

當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，顯然符合題意，即為所求； 6分

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，

綜上，直線的方程為或． 8分

(2) 直線的方程為，設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以，又都在半徑為的上，

所以即 10分

因?yàn)樵撽P(guān)于的方程組有解，即以為圓心為半徑的圓與以為圓心為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以， 12分

又，所以對(duì)]成立．

而在[0，1]上的值域?yàn)?/span>[，10]，故且． 15分

又線段與圓無(wú)公共點(diǎn)，所以對(duì)成立，即.故的半徑的取值范圍為． 16分

考點(diǎn)：圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系.