Question

四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；
（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析

（1）正方形ABCD是四棱錐P—ABCD的底面, 其面積為從而只要算出四棱錐的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，
∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.                
而PB是四棱錐P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=a,
.                                                                                       
（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側面PAD與PCD恒為全等三角形.
作AE⊥DP，垂足為E，連結EC，則△ADE≌△CDE，
是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.
設AC與DB相交于點O，連結EO，則EO⊥AC，
                                                                     
在
故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.