Question

（本小題滿分14分）數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意，總有成等差數列.
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)設數列的前項和為 ，且，求證:對任意實數（是常數，＝2.71828）和任意正整數，總有 2；
(Ⅲ) 已知正數數列中，.，求數列中的最大項.

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知：對于，總有 ① 成立,
∴ （n ≥ 2）② , 
①--②得:, ∴
∵均為正數，∴（n ≥ 2）, ∴數列是公差為1的等差數列.
又n=1時，， 解得=1,
∴.()                        ………………………………(4分)
（Ⅱ）證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤.
∴
 ,
故。                                  ………………………………(8分)
(Ⅲ)解：由已知 ，      

易得　
猜想 n≥2 時，是遞減數列. 
令,
∵當
∴在內為單調遞減函數.
由. ∴n≥2 時, 是遞減數列.，即是遞減數列.
又 , ∴數列中的最大項為：

略