Question

（2006•杭州一模）設(shè)函數(shù)f（x）=

x2

ax-2

（a∈N^*），又存在非零自然數(shù)m，使得f（m）=m，f（-m）＜-

1

m

成立．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè){a_n}是各項(xiàng)非零的數(shù)列，若f(

1

an

)=

1

4(a1+a2+…+an)

對任意n∈N^*成立，求數(shù)列{a_n}的一個通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，數(shù)列{a_n}是否惟一確定？請給出判斷，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）利用f（m）=m，f（-m）＜-

1

m

關(guān)系及（a∈N^*）構(gòu)造一個不等式，求出a的值，即求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根據(jù)（1）求得f（x）的表達(dá)式，代入f(

1

an

)=

1

4(a1+a2+…+an)

求出遞推式s_n與a_n的關(guān)系，
再利用an=

s1 sn-sn-1

求出數(shù)列{a_n}的一個通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)（2）的條件數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式不止一個，給出實(shí)例即證．

解答：解：（1）∵f（x）=

x2

ax-2

（a∈N^*），
∴f（m）=

m2

am-2

=m，且m≠0，
∴（a-1）m=2，顯然a≠1，所以m=

2

a-1

①；
又f（-m）=

m2

-am-2

＜-

1

m

，即

m3

am+2

＞1，
由（a，m∈N^*）得：m³＞am+2②，
把①代入②，得

8

(a-1)3

＞

2a

a-1

+2；
整理，得

8

(a-1)3

-

2

a-1

-4＞0，
根據(jù)a≠1，a∈N^*，取a=2，滿足上式，當(dāng)a≥3時(shí)，

8

(a-1)3

-

2

a-1

-4＜0，
故a=2，此時(shí)m=2；
所以，函數(shù)f（x）=

x2

2x-2

．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根據(jù)（1）知f（x）=

x2

2x-2

，則f(

1

an

)=

1

2an-2an2

，
代入f(

1

an

)=

1

4(a1+a2+…+an)

，
得2a_n-2a_n²=4（a₁+a₂+…+a_n）=4s_n，即a_n-a_n²=2s_n，
∴a_n-1-a_n-1²=2s_n-1（n≥2），
∴（a_n-a_n²）-（a_n-1-a_n-1²）=2a_n，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1=-1（n≥2），
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁-a₁²=2a₁，
∴a₁=0（舍去），或a₁=-1；
由a_n-a_n-1=-1，得{a_n}是等差數(shù)列，通項(xiàng)a_n=-n．
（3）由（2）的條件知，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式不止一個，
例如由a_n+a_n-1=0，且a₁=-1，可得a_n=（-1）ⁿ（n為奇數(shù)時(shí)）；
所以，數(shù)列{a_n}不是惟一確定的．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，也考查了函數(shù)與不等式的應(yīng)用，數(shù)列遞推公式的應(yīng)用；解題時(shí)要細(xì)心分析，并適當(dāng)?shù)牟孪耄�仔�?xì)解答．