Question

如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F₂，線段OF₁，OF₂的中點分別為B₁，B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．

(1)求該橢圓的離心率和標準方程；
(2)過B₁作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB₂⊥QB₂，求直線l的方程．

Answer 1

(1)＋＝1，e＝ ；(2) x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.

試題分析：(1)設所求橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點為F₂(c,0)．因為△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|＝|AB₂|，故∠B₁AB₂為直角，因此|OA|＝|OB₂|，得b＝.
結合c²＝a²－b²，得4b²＝a²－b²，故a²＝5b²，c²＝4b²，∴離心率e＝＝.
在Rt△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，故S△AB₁B₂＝|B₁B₂|·|OA|＝|OB₂|·|OA|＝b＝b².
由題設條件S△AB₁B₂＝4，得b²＝4，從而a²＝5b²＝20.
因此所求橢圓的標準方程為＋＝1.
(2)由(1)，知B₁(－2,0)，B₂(2,0)．由題意，知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為x＝my－2，代入橢圓方程，得(m²＋5)y²－4my－16＝0.
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則y₁，y₂是上面方程的兩根，因此y₁＋y₂＝，y₁·y₂＝－.
又＝(x₁－2，y₁)，＝(x₂－2，y₂)，
∴·＝(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂＝(my₁－4)(my₂－4)＋y₁y₂＝(m²＋1)y₁y₂－4m(y₁＋y₂)＋16＝－－＋16＝－.
由PB₂⊥QB₁，得·＝0，即16m²－64＝0，解得m＝±2.
∴滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
點評：直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．