【題目】已知
為雙曲線
的左、右焦點，過
作垂直于
軸的直線，并在軸上方交雙曲線于點
，且
.
（1）求雙曲線
的方程；
（2）過雙曲線上一點
作兩條漸近線的垂線，垂足分別是
和
，試求
的值；
（3）過圓
上任意一點
作切線
交雙曲線于
兩個不同點，
中點為
，證明：
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）見解析
【解析】分析：(1) 在直角三角形
中，
，解得
，從而可得雙曲線
的方程；（2）確定兩條漸近線方程，設雙曲線上的點
，求出點
到兩條漸近線的距離，利用在雙曲線上，及向量的數量積公式，結合
即可求得結論；（3）分類討論: ①當切線
的斜率存在，設切錢的方程代入雙曲線中，利用韋達定理、弦長公式以及點到直線距離公式，結合直線與圓
相切，可得
成立；②當切線的斜率不存在時，求出
的坐標，即可得到結論.
詳解：（1）根據已知條件
得
，∴焦點坐標為
，
∵
軸，∴
在直角三角形中，，解得，
于是所求雙曲線方程為
.
（2）根據（1）易得兩條雙曲線漸近線方程分別為
，
，設點，則
，
又在雙曲線上，所以
于是
.
（3）①當直線的斜率不存在時，則
，于是
，此時
，即命題成立.
②當直線的斜率存在時，設的方程為
切線
與的交點坐標為
，
于是有
消去
化成關于
的二次為
.
∵
為
的中點，∴
即坐標為
則
，
又點到直線的距離為
，
.代入得：
，
，故得證.
口算題卡加應用題集訓系列答案
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題為真命題的是（ ）
A.若
為真命題，則
為真命題；
B.“
”是“
”的充分不必要條件；
C.命題“若
，則
”的否命題為“若，則
”；
D.已知命題
，使得
，則
，使得
。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
，定直線
： 
，動圓
過點
，且與直線
相切.
（Ⅰ）求動圓
的圓心軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
的直線與曲線
相交于
， 
兩點，分別過點
， 
作曲線
的切線
， 
，兩條切線相交于點
，求
外接圓面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在（0，+∞）上的單調函數f（x），x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，則方程f（x）﹣f′（x）=1的解所在區間是 （ ）
A. （2，3） B. 
C. 
D. （1，2）
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