Question

【題目】已知函數（）.

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與軸垂直，求的值；

（Ⅱ）若函數有兩個極值點，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：當時， .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數在點處的切線與軸垂直，可得切線的斜率，從而可求 的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函數有兩個極值點，則，即有兩個不同的根，且的值在根的左、右兩側符號相反.

令，討論其性質即可得到的取值范圍；

（Ⅲ）令（），則， .

令，討論的性質可得以時， ，即時， .

試題解析:（（Ⅰ）由得.

因為曲線在點處的切線與軸垂直，

所以，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函數有兩個極值點，則，即有兩個不同的根，且的值在根的左、右兩側符號相反.

令，則，

所以當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增.

又當時， ； 時， ； 時， ； 時， ，

所以.即所求實數的取值范圍是.

（Ⅲ）證明：令（），則， .

令，則 ，

因為，所以， ， ， ，

所以，即在時單調遞增，

又，所以時， ，即函數在時單調遞增.

所以時， ，即時， .