Question

如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處，AB=20km，BC=10km。為了處理三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO、BO、PO，設排污管道的總長度為ykm，
(Ⅰ)按下列要求建立函數關系：
(ⅰ)設∠BAO=θ(rad)，將y表示為θ的函數；
(ⅱ)設PO=x(km)，將y表示成x的函數；
(Ⅱ)請你選用(Ⅰ)中的一個函數關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短．

Answer 1

解：(Ⅰ)(ⅰ)如圖，延長PO交AB于點Q， 由題設可知，AO=BO，PO=10-OQ， 在Rt△AQO中，， 所以，， 又易知， 故y用θ表示的函數為。 (ⅱ)由題設可知，在Rt△AQO中，， 則，顯然0≤x≤10， 所以y用x表示的函數為。
(Ⅱ)選用(Ⅰ)中的函數關系， 來確定符合要求的污水處理廠的位置． 因為， 所以， 由y′=0得， 因，故， 當時，y′＜0；當時，y′＞0， 所以函數y在時取得極小值，這個極小值就是函數y在上的最小值， 當時，。 因此，當污水處理廠建在矩形區域內且到A、B兩點的距離均為時， 鋪設的排污管道的總長度最短．