Question

如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A，B及CD的中點P處．AB=20km，BC=10km．為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界）且與A，B等距的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函數關系式：
（i）設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數；
（ii）設OP=x（km），將y表示成x的函數；
（2）請你選用（1）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短．

Answer 1

【答案】分析：（1）（i）根據題意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函數的關系可推得OP，從而得出y的函數關系式，注意最后要化為最簡形式，確定自變量范圍．（ii）已知OP，可得出OQ的表達式，由勾股定理推出OA，易得y的函數關系式．
（2）欲確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短也就是最小值問題，（1）中已求出函數關系式，故可以利用導數求解最值，注意結果應與實際情況相符合．
解答：解：（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
則，故，又OP=10-10tanθ，
所以，
所求函數關系式為
②若OP=x（km），則OQ=10-x，所以OA=OB=
所求函數關系式為

（Ⅱ）選擇函數模型①，
令y′=0得sin，因為，所以θ=，
當時，y′＜0，y是θ的減函數；當時，y′＞0，y是θ的增函數，所以當θ=時，．這時點P位于線段AB的中垂線上，在矩形區域內且距離AB邊km處．
點評：本小題主要考查函數最值的應用．
①生活中的優化問題，往往涉及到函數的最值，求最值可利用單調性，也可直接利用導數求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域，利用求函數最值的方法求解，注意結果應與實際情況相符合．用導數求解實際問題中的最大（小）值時，如果函數在區間內只有一個極值點，那么根據實際意義該極值點也就是最值點．