Question

（本小題13分）已知兩定點滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線與曲線E交于A、B兩點。如果且曲線E上存在點C，使.
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）求AB的直線方程；
（Ⅲ）求的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。（Ⅲ）。

本試題主要是考查了雙曲線方程的求解，以及直線與雙曲線的位置關系的綜合運用。結合韋達定理和弦長公式，以及向量的坐標關系式，得到參數的求解。
（1）根據雙曲線的定義可以得到雙曲線的方程的求解。
（2）聯立方程組，得到相交弦的長度以及韋達定理得到直線的方程。
(3)根據，得到坐標關系式，結合上一問的結論，可知參數m的等式，得到結論。
解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，且，易知

故曲線的方程為……….4分
（Ⅱ） 設，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有
      解得……….6分
又∵

依題意得    整理后得
∴或 但  ∴
故直線的方程為……….9分
（Ⅲ）設，由已知，得
∴，
又，
∴點 將點的坐標代入曲線的方程，得 
得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意 ∴，…13分