Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，，求證：無(wú)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)，根據(jù)的正負(fù)解得x的范圍，得出f（x）的單調(diào)性；

（2）令h（x）為g′（x）的分子部分，設(shè)x0為h（x）的零點(diǎn)，求出g（x）的最小值g（x0），根據(jù)x0的性質(zhì)和基本不等式得出g（x0）關(guān)于a的函數(shù)m（a），再根據(jù)m（a）的單調(diào)性求出m（a）的最小值即可得出結(jié)論．

（1）若，則，

.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由可知，，

當(dāng)時(shí)，，顯然沒有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，在單調(diào)遞增，

又h（0）＝﹣a＜0，h（2）＝2e﹣a＞0，

∴h（x）在（0，2）上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為x0，則x0a，

∴當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，

即g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（x）的最小值為g（x0）alnx0，

∵x0a，∴﹣1，兩邊取對(duì)數(shù)可得x0﹣1＝lna﹣lnx0，即lnx0＝lna+1﹣x0，

∴g（x0）a（lna+1﹣x0）ax0﹣alna﹣a≥2a﹣alna﹣a＝a﹣alna，（當(dāng)且僅當(dāng)x0＝1時(shí)取等號(hào)），

令m（a）＝a﹣alna，則m′（a）＝﹣lna，

∴當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，m′（a）＞0，當(dāng)a∈（1，e]時(shí)，m′（a）＜0，

∴m（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減．

∴當(dāng)0＜a≤e時(shí)，m（a）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝e時(shí)取等號(hào)，

由x0a可知當(dāng)a＝1時(shí)，x0＝1，故當(dāng)a＝e時(shí)，x0≠1，故g（x0）＞m（a）≥0，

∴g（x0）＞0．

∴當(dāng)0≤a≤e時(shí)，g（x）沒有零點(diǎn)．