Question

【題目】如圖,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠ADC＝90°,平面ABCD外一點P在平面ABCD內的射影Q恰在邊AD上, PA＝AD＝2 BC＝2,CD＝.

(1)若平面PQB⊥平面PAD,求證：Q為線段AD中點；

(2)在(1)的條件下,若M在線段PC上,且PA∥平面BMQ,求點M到平面PAB的距離.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】(1)證明：∵P在平面ABCD內的射影Q恰在邊AD上,

∴PQ⊥平面ABCD,

∵BQ平面ABCD,∴PQ⊥BQ,（2分）

∵PQB⊥平面PAD,且平面PQB∩平面PAD ＝PQ,

∴BQ⊥平面PAD.

∵AD平面PAD,∴BQ⊥AD.（4分）

∵∠ADC＝90°,∴CD∥BQ,

又AD∥BC,∴四邊形BCDQ為平行四邊形,

∴BC=QD=1,AQ=AD-QD=2-1=1,

∴AQ=QD,即Q為線段AD中點.（6分）

(2)連接AC與BQ交于點N,則N為AC中點,連接,

∵PA∥平面BMQ,∴PA∥MN,

∴M為PC中點,（8分）

∴點M到平面PAB的距離是點C到平面PAB的距離的,

在三棱錐中,高,底面積為,

∴三棱錐的體積,（10分）

又△PAB中,PA=AB=2,PB=,

∴△PAB的面積為.

設點M到平面PAB的距離為d,由可得,則,

∴點M到平面PAB的距離為.（12分）