Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在常數m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為F函數．給出下列函數：
①f（x）=0；②f（x）=x²；③f(x)=

2

(sinx+cosx)；④f(x)=

x

x2+x+1

；其中是F函數的序號為

①④

．

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據F函數的定義進行判定：對于①f（x）=0，顯然對任意常數m＞0，均成立；對于②，|f（x）|＜m|x|，顯然不成立；對于③，f(x)=

2

(sinx+cosx)，x=0時，|f（x）|＜m|x|不成立；對于④，f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|成立；從而可得到正確結論．

解答：解：由題意
對于①f（x）=0，顯然對任意常數m＞0，均成立，故f（x）為F函數；
對于②，|f（x）|＜m|x|，顯然不成立，故其不是F函數；
對于③，f(x)=

2

(sinx+cosx)，由于x=0時，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函數；
對于④，f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函數；
故答案為①④

點評：本題的考點是函數恒成立問題，主要考查根據所給的新定義來驗證函數是否滿足定義中的規(guī)則，是函數知識的給定應用題，綜合性較強，做題時要注意運用所深知識靈活變化進行證明，考查學生的閱讀理解能力與分析問題解決問題的能力，解答的關鍵是對選支逐個加以分析變形，利用函數、不等式的進行檢驗，方可得出正確結論．