Question

【題目】（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4．

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實數使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，利用橢圓的離心率和長軸長列出方程，解出a和c的值，再利用計算b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，將直線與橢圓聯立，消參，利用韋達定理，得到、，由于以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O，所以，即，代入和，解出k的值．

試題解析：（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得，

解得，所以，

故所求橢圓C的方程為．

（2）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．

理由如下：

設點，，

將直線的方程代入，

并整理，得．（*）

則，．

因為以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O，

所以，即．

又，

于是，解得，

經檢驗知：此時（*）式的Δ＞0，符合題意．

所以當時，以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．