Question

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設可導函數 f（x） 滿足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的兩邊對x求導，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求導法則，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化簡得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），結合等式（x∈R，整數n≥2），證明：；
（Ⅱ）當整數n≥3時，求的值；
（Ⅲ）當整數n≥3時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）在等式（1+x）ⁿ=C_n+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ，兩邊對x求導，整理可得結論；
（II）當整數n≥3時，n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1中，令x=-1，可得結論；
（III）當整數n≥3時，n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1中，兩邊對x求導，令x=-1，可得結論．
解答：（Ⅰ）證明：在等式（1+x）ⁿ=C_n+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ
兩邊對x求導得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1
移項得；
（Ⅱ）解：當整數n≥3時，n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1中，令x=-1，可得=（-1）^n-1n；
（Ⅲ）證明：當整數n≥3時，∵n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，
求導函數，可得（n-1）n（1+x）^n-2=+2C_n²+…+n（n-1）C_nⁿx^n-2，
令x=-1，可得．
點評：本題考查二項式定理的運用，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．