Question

已知曲線C₁：

x2

6

+

y2

3

=1，曲線C₂：x²=2py（p＞0），且C₁與C₂焦點之間的距離為2．
（1）求曲線C₂的方程；
（2）設C₁與C₂在第一象限的交點為A，過A斜率為k（k＞0）的直線l與C₁的另一個交點為B，過點A與l垂直的直線與C₂的另一個交點為C，問△ABC的外接圓的圓心能否在y上？若能，求出此時的圓心坐標；否則說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

p

2

=

4-3

=1，由此能求出曲線C₂的方程．
（2）由

x2 6 + y2 3 =1 x2=4y

，解得A（2，1），直線l的方程為y-1=k（x-2），由

x2 6 + y2 3 =1 y-1=k(x-2)

，得xB=

2(2k2-2k-1)

2k2+1

，直線AC的方程為y-1=-

1

k

(x-2)，由

x2=4y y-1=- 1 k (x-2)

，得xC=-

2(k+2)

k

，由此推導出△ABC的外心不可能在y軸上．

解答： 解：（1）∵曲線C₁：

x2

6

+

y2

3

=1，曲線C₂：x²=2py（p＞0），
且C₁與C₂焦點之間的距離為2，
∴

p

2

=

4-3

=1，解得p=2，
∴曲線C₂的方程為x²=4y．
（2）由

x2 6 + y2 3 =1 x2=4y

，解得A（2，1），
由題意得直線l的方程為y-1=k（x-2），
由

x2 6 + y2 3 =1 y-1=k(x-2)

，得（2k²+1）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-6=0，
則x_Ax_B=

2(1-2k)2-6

2k2+1

，x_A+x_B=-

4k(1-2k)

2k2+1

，
∵x_A=2，∴xB=

2(2k2-2k-1)

2k2+1

，
直線AC的方程為y-1=-

1

k

(x-2)，
由

x2=4y y-1=- 1 k (x-2)

，得x2+

4

k

x-4-

8

k

=0，
∴xAxC=-4-

8

k

，xA+xC=-

4

k

，
∵x_A=2，∴xC=-

2(k+2)

k

，
∵△ABC為直角三角形，∴△ABC的外心為BC的中點M，
若M在y軸上，則x_M=0，即xM=

xB+xC

2

=0，
∴

xB+xC

2

=

2(2k2-2k-1)

2k2+1

-

2(k+2)

k

=0，
∴3k²+k+1=0，
△=1-12＜0，此方程無解，∴△ABC的外心不可能在y軸上．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查三角形的外接圓的圓心能否在y軸上的判斷，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．