Question

設函數f(x)＝x＋ax²＋blnx，曲線y＝f(x)過P(1,0)，且在P點處的切線斜率為2.
(1)求a，b的值；
(2)證明：f(x)≤2x－2.

Answer 1

　(1) a＝－1，b＝3. (2)利用導數證明。

解析試題分析：　(1)f ′(x)＝1＋2ax＋.（1分）
由已知條件得即
解得a＝－1，b＝3.   （4分）
(2)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x²＋3lnx.
設g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x²＋3lnx，則
g′(x)＝－1－2x＋＝－.  （6分）
當0<x<1時，g′(x)>0；當x>1時，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)單調遞增，在(1，＋∞)單調遞減．（8分）
而g(1)＝0，故當x>0時，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2. （10分）
考點：本題主要考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性、最值，不等式組的證明。
點評：中檔題，導數的應用是高考必考內容，思路往往比較明確根據導數值的正負，確定函數的單調性。定義不懂事的證明問題，往往通過構造函數，轉化成求函數的最值，使問題得解。