Question

（2005•金山區一模）已知S_n是正數數列{a_n}的前n項和，S₁²，S₂²、…、S_n²…，是以3為首項，以1為公差的等差數列；數列{b_n}為無窮等比數列，其前四項之和為120，第二項與第四項之和為90．（1）求a_n、b_n；（2）從數列{

1

bn

}中能否挑出唯一的無窮等比數列，使它的各項和等于

1

S 2 6

．若能的話，請寫出這個數列的第一項和公比？若不能的話，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據{S_n²}是以3為首項，以1為公差的等差數列求出通項公式，得到S_n，然后根據a_n=

a1    n=1 Sn-Sn-1 n≥2

進行求解，根據{b_n}是等比數列，求出首項和公比即可求出b_n；
（2）設可以挑出一個無窮等比數列{c_n}，首項為c₁=（

1

3

）^p，公比為（

1

3

）^k，（p、k∈N），它的各項和等于

1

S 2 6

=

1

8

，建立等式關系，討論p和k的大小，從而求出滿足條件的等比數列．

解答：解：（1）{S_n²}是以3為首項，以1為公差的等差數列；所以S_n²=3+（n-1）=n+2
因為a_n＞0，所以S_n=

n+2

（n∈N）（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n+2

-

n+1

又a₁=S₁=

3

，所以a_n=

3                    n=1 n+2 - n+1    n＞1

（n∈N） （4分）
設{b_n}的首項為b₁，公比為q，則有

b1q+b1q3=90 b1+b1q2=30

（6分）
所以

b1=3 q=3

，所以b_n=3ⁿ（n∈N）（8分）
（2）

1

bn

=（

1

3

）ⁿ，設可以挑出一個無窮等比數列{c_n}，首項為c₁=（

1

3

）^p，公比為（

1

3

）^k，（p、k∈N），它的各項和等于

1

S 2 6

=

1

8

，（10分）
則有

( 1 3 )p

1-( 1 3 )k

=

1

8

，所以（

1

3

）^p=

1

8

[1-（

1

3

）^k]，（12分）
當p≥k時3^p-3^p-k=8，即3^p-k（3^k-1）=8，因為p、k∈N，所以只有p-k=0，k=2時，
即p=k=2時，數列{c_n}的各項和為

1

S 2 6

． （14分）
當p＜k時，3^k-1=8.3^k-p，因為k＞p右邊含有3的因數，而左邊非3的倍數，不存在p、k∈N，
所以唯一存在等比數列{c_n}，首項為

1

9

，公比為

1

9

，使它的各項和等于

1

S 2 6

．（16分）

點評：本題主要考查了數列的通項公式，以及等比數列的求和等有關知識，屬于中檔題．