Question

(本題滿分15分) 已知直線l₁：x＝my與拋物線C：y²＝4x交于O (坐標原點)，A兩點，直線l₂：x＝my＋m 與拋物線C交于B，D兩點．
(Ⅰ) 若 | BD | ＝ 2 | OA |，求實數m的值；
(Ⅱ) 過A，B，D分別作y軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，D₁．記S₁，S₂分別為三角形OAA₁和四邊形BB₁D₁D的面積，求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) m＝
(Ⅱ) 的取值范圍是(0，1)∪(1，＋∞)

(Ⅰ) 解: 設B(x₁，y₁)， D(x₂，y₂)，
由 得
，
由Δ，得或，
且y₁＋y₂＝4m， y₁y₂＝－4m．
又由 得
y²－4my＝0，
所以y＝0或4m．
故A (4m²，4m)．
由 | BD |＝2 | OA |，得
(1＋m²)(y₁－y₂)²＝4 (16m⁴＋16m²)，
而 (y₁－y₂)²＝16m²＋16m，
故m＝．       ………………………… 6分
(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得
x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)＋2m＝4m²＋2m．
所以＝ 
＝
＝
＝．
令＝t，
因為或，
所以－1＜t＜0或t＞0．
故 ＝，
所以 0＜＜1 或 ＞1，
即 0＜＜1 或 ＞1．
所以，的取值范圍是(0，1)∪(1，＋∞)．　　………………………15分