Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上，離心率為的橢圓過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓與軸的非負半軸交于點，過點作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于兩點，連接，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為，則可求得（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為o．故可設直線的方程為，由對稱性，不妨設，由，消去得，求弦長|BP|，

將式子中的換成，得設，則． 利用基本不等式即得解.

試題解析：

（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為，則，故，

所以，橢圓方程為．

（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為o．

故可設直線的方程為，由對稱性，不妨設，

由，消去得，

則，將式子中的換成，得： ．

，

設，則．

故 ，取等條件為即，

即，解得時， 取得最大值．