Question

對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)。

①對任意的，總有；

②當時，總有成立。

已知函數(shù)與是定義在上的函數(shù)。

（1）試問函數(shù)是否為函數(shù)？并說明理由；

（2）若函數(shù)是函數(shù)，求實數(shù)的值；

（3）在（2）的條件下，討論方程解的個數(shù)情況。

 

Answer 1

【答案】

(1) 函數(shù)是函數(shù),(2) (3)

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)函數(shù)的定義，驗證函數(shù)的兩個條件，即可判斷；

（2）根據(jù)因為函數(shù)是函數(shù)，利用函數(shù)的兩個條件，即可求得實數(shù)的值；

（3）根據(jù)（2）知，原方程可以化為，再利用換元法，即可求實數(shù)的取值范圍．

對考查新定義的題要與熟悉的已知函數(shù)性質比較,參考其性質及運算特征進行計算，對新定義熟悉性質后求參數(shù)的取值，把方程解的情況轉化成求值域，利用換元法、配方法求函數(shù)的值域；解題的關鍵是正確理解新定義．

試題解析：

（1）當時，總有滿足①

當時

滿足②

所以函數(shù)是函數(shù).

（2）

Ⅰ當時，不滿足①，所以不是是函數(shù)

Ⅱ當時，在上是增函數(shù),則,滿足①

由 ,得

即

因為

所以，與不同時等于1

所以

所以

當時, 即于是

綜上所述:

(3) 根據(jù)（2）知，原方程可以化為

由得

令,則在單調遞增且值域為

所以，當時，方程有一解

當時方程無解

考點：函數(shù)恒成立問題．