Question

在平面區域

x-2y+10≥0 x+2y-6≥0 2x-y-7≤0

內有一個圓，向該區域內隨機投點，將點落在圓內的概率最大時的圓記為圓M．
（1）試求出圓M的方程；
（2）設過點P（0，3）作圓M的兩條切線，切點分別記為A、B，又過P作圓N：x²+y²-4x+λy+4=0的兩條切線，切點分別記為C、D，試確定λ的值，使AB⊥CD．

Answer 1

分析：（1）先畫出該平面區域，明確區域所圍成的平面圖形的形狀，再由“落在圓內的概率最大時的圓”則為該平面圖形的內切圓．再由圓的相關條件求圓的方程．
（2）根據PM⊥AB，PN⊥CD，則要使AB⊥CD，只要PM⊥PN即可，即由

PM

•

PN

=0，建立關于λ的方程來求解．

解答：解：（1）畫出該區域得三角形ABC，頂點坐標分別為A（-2，4），B（4，1），C（8，9），（2分）
且為直角三角形，三邊長分別為3

5

，4

5

，5

5

（4分）
由于概率最大，故圓M是ABC內切圓，R=

5

，（5分）
設M（a，b），則

|a-2b+10|

5

=

|a+2b-6|

5

=

|2a-b-7|

5

=

5

（7分）
解得a=3，b=4（9分）
所以圓M的方程為（x-3）²+（y-4）²=5（10分）
（2）要使AB⊥CD，則PM⊥PN，

PM

•

PN

=0，（13分）
N(2，-

λ

2

)，P（0，3）
求得λ=6（16分）

點評：本題主要考查平面區域的畫法，三角形的內切圓的求法以及圓的切線的應用．還考查了數形結合的思想方法．