Question

橢圓的離心率為分別是左、右焦點，過F₁的直線與圓（x+c）²+（y+2）²=1相切，且與橢圓E交于A、B兩點．
（1）當時，求橢圓E的方程；
（2）若直線AB的傾斜角為銳角，當c變化時，求證：AB的中點在一定直線上．

Answer 1

（1）解：由橢圓的離心率為，可設橢圓E：
根據已知設切線AB為：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，
圓（x+c）²+（y+2）²=1的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離為d==1
∴k=
∴切線AB為：y=（x+c），與橢圓方程聯立，消元可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-，
∴|AB|===
∴c=1，
∴橢圓E的方程為：．（9分）
（2）證明：由（1）及已知得，AB的中點（-），
故弦AB的中點在定直線（x＜0）上．（13分）
分析：（1）根據橢圓的離心率為，可設橢圓E：，設切線AB為：y=k（x+c），即kx-y+ck=0，利用圓（x+c）²+（y+2）²=1的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離為d==1，求得斜率，再將直線方程與橢圓方程聯立，消元，利用弦長即可求得橢圓E的方程；
（2）由（1）及已知得AB的中點（-），從而可得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，聯立方程是關鍵．