Question

把公差d=2的等差數列{a_n}的各項依次插入等比數列{b_n}中，將{b_n}按原順序分成1項，2項，4項，…，2^n-1項的各組，得到數列{c_n}：b₁，a₁，b₂，b₃，a₂，b₄，b₅，b₆，b₇，a₃，…，若{c_n}的前n項的和為S_n，且c₁=1，c₂=2，S₃=

13

4

，則S₁₀₀等于（　�。�

• A．

  1

  3

  [130-(

  1

  2

  )186]
• B．

  1

  3

  [130-(

  1

  2

  )188]
• C．

  1

  3

  [130-(

  1

  2

  )94]
• D．

  1

  3

  [130-(

  1

  2

  )98]

Answer 1

分析：由已知我們可分析出{c_n}的前100項中，含等差數列{a_n}的前6項，等比數列{b_n}的前94項，分別利用等差、等比數列的前n和公式可得答案．

解答：解：由題意得{c_n}是a_n前（包括a_n）共有（1+1）+（2+1）+（4+1）+…+（2^n-1+1）=2ⁿ+n-1項
∵n=6時，2ⁿ+n-1=69＜100，n=7時，2ⁿ+n-1=134＞100，
故{c_n}的前100項中，含等差數列{a_n}的前6項，等比數列{b_n}的前94項，
由已知中c₁=1，c₂=2，S₃=

13

4

，可得
等差數列{a_n}的公差d=2，首項a₁=c₂=2，
等比數列{b_n}的首項b₁=c₁=1，b₂=S₃-c₁-c₂=

1

4

，即公比q=

1

4

，
∴S₁₀₀=（2+4+…+12）+（1+

1

4

+…+

1

493

）=

1

3

[130-(

1

2

)186]
故選A

點評：本題考查的知識點是等差數列和等比數列的前n項和公式，其中第一步分析{c_n}的前100項中，含等差數列{a_n}的前6項，等比數列{b_n}的前94項，難度較大．