Question

【題目】已知函數().

（1）討論函數的單調性；

（2）求證： .

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析

【解析】

（1）求導，對參數進行分類討論，根據導數正負，即可判斷函數單調性；

（2）構造函數，利用導數判斷其單調性和最值，即可容易證明.

（1）定義域為，

當時，，

所以函數的單調遞增區間為，遞減區間為；

當時，令，得或，

當時，恒成立，

所以函數的單調遞增區間為，無減區間；

所以函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

當時，，

所以函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，無減區間；

當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.

（2）設，

，

由（1）可知，當時，，

且的單調遞增區間為，遞減區間為，

所以的單調遞增區間為，遞減區間為，

故，所以在上單調遞增

又，

所以當時，，時，；

又當時，，時，

所以