Question

在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足

m

=(2b-c，cosC)，

n

=(a，cosA)且

m

∥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，三角形ABC的面符號為S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的坐標運算可求得（2b-c）cosA-accosC=0，再利用正弦定理可求得cosA=

1

2

，從而可求得角A的大小；
（2）依題意，利用余弦定理與基本不等式可求得bc≤16，由三角形的面積公式即可求得△ABC的面積S的最大值．

解答：解：（1）∵

m

=（2b-c，cosC），

n

=（a，cosA），且

m

∥

n

，
∴（2b-c）cosA-accosC=0，…2′
∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
在三角形ABC中，sinB＞0，
∴cosA=

1

2

，故A=

π

3

；…6′
（2）∵A=

π

3

，a=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²-bc…8′
∴16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc（當且僅當b=c時取等號），…10′
∴S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×16×

3

2

=4

3

，…12′

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查余弦定理與基本不等式及三角形的面積公式，考查向量共線的坐標運算，屬于中檔題．