Question

如圖，有一邊長(zhǎng)為2米的正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線是以直線為對(duì)稱軸，以線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個(gè)直角梯形．

（Ⅰ）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求陰影部分的邊緣線的方程;

（Ⅱ）如何畫出切割路徑，使得剩余部分即直角梯形的面積最大？

并求其最大值．

 

Answer 1

【答案】

(I) .(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  

【解析】

試題分析：(I)以為原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

依題意

可設(shè)拋物線弧的方程為

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴，

故邊緣線的方程為.

(Ⅱ)要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，   ∵，

∴直線的的方程可表示為，即 ， 由此可求得，.

，   ，

設(shè)梯形的面積為，則

. ∴當(dāng)時(shí)，

故的最大值為. 此時(shí).

答：當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為.  

考點(diǎn)：本題主要考查拋物線在實(shí)際問題中的應(yīng)用以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：解應(yīng)用題常用的方法是依據(jù)題意建立等量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，而有些應(yīng)用題有明顯的幾何意義，可以考慮利用解析法根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，構(gòu)造曲線方程，利用曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解．