Question

如圖，某小區有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路l（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數y=-

1

2

x2+2(0≤x≤2的圖象，且點M到邊OA距離為t（0＜t＜2）．
（Ⅰ）當t=

1

2

時，求直路l所在的直線方程；
（Ⅱ）當t為何值時，地塊OABC在直路l不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求當t=

1

2

時，直路l所在的直線方程，即求拋物線y=-

1

2

x2+2在x=

1

2

時的切線方程，利用求函數的導函數得到切線的斜率，運用點斜式寫切線方程；
（Ⅱ）求出x=t時的拋物線y=-

1

2

x2+2的切線方程，進一步求出切線截正方形在直線右上方的長度，利用三角形面積公式寫出面積，得到的面積是關于t的函數，利用導數分析面積函數在（0＜t＜2）上的極大值，也就是最大值．

解答：解：（I）∵y=-

1

2

x2+2，∴y′=-x，
∴過點M（t，-

1

2

t2+2）的切線的斜率為-t，
所以，過點M的切線方程為y-(-

1

2

t2+2)=-t(x-t)，即y=-tx+

1

2

t2+2．
當t=

1

2

時，切線l的方程為y=-

1

2

x+

17

8

．
即當t=

1

2

時，直路l所在的直線方程為y=-

1

2

x+

17

8

；
（Ⅱ）由（I）知，切線l的方程為y=-tx+

1

2

t2+2，
令y=2，得x=

t

2

，故切線l與線段AB交點為F（

t

2

，2），
令x=2，得y=

1

2

t2-2t+2，故切線l與線段BC交點為G（2，

1

2

t2-2t+2）．
地塊OABC在切線l右上部分為三角形FBG，如圖，

設其面積為f（t），
∴f(t)=

1

2

|FB||BG|=

1

2

(2-

1

2

t)(-

1

2

t2+2t)
=

1

8

t3-t2+2t（0＜t＜2）．
f′(t)=

3

8

t2-2t+2=

1

8

(t-4)(3t-4)，
∴當t∈（0，

4

3

）時，f′（t）＞0，f（t）為單調增函數，
當t∈(

4

3

，2)時，f′（t）＜0，f（t）為單調減函數．
∴當t=

4

3

時，f（t）的極大值（最大值）為f(

4

3

)=

1

8

×(

4

3

)3-(

4

3

)2+2×

4

3

=

32

27

．
∴當點M到邊OA距離為

400

3

米時，地塊OABC在直路l不含游泳池那側的面積最大，最大值為

320000

27

平方米．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，在實際問題中，函數在定義域內僅含一個極值，該極值往往就是最值．屬中檔題型．