Question

直線y=kx+1（k∈R）與橢圓

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共點，則m的取值范圍是（　　）

A．[1，5）∪（5，+∞）

B．（0，5）

C．[1，+∞）

D．（1，5）

Answer 1

分析：聯立

y=kx+1 x2 5 + y2 m =1

，消去y得到（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0，（m＞0，m≠5），由題意必須滿足△≥0，解出即可．

解答：解：聯立

y=kx+1 x2 5 + y2 m =1

，消去y得到（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0，（m＞0，m≠5）
∵直線y=kx+1（k∈R）與橢圓

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共點，
∴△≥0，即100k²-20（1-m）（m+5k²）≥0，化為m²+5mk²-m≥0，
∵m＞0，∴m≥-5k²+1，
∵-5k²+1≤1，∴m≥1（m≠5）．
故選A．

點評：熟練掌握直線與橢圓的位置關系轉化為直線方程與橢圓方程聯立得到關于x的一元二次函數的△≥0的問題是解題的關鍵．