Question

【題目】在黨中央的正確領導下，通過全國人民的齊心協力，特別是全體一線醫護人員的奮力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙兩個地區采取防護措施后，統計了從2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”確診人數，繪制成如圖折線圖：

（1）根據圖中甲、乙兩個地區折線圖的信息，寫出你認為最重要的兩個統計結論；

（2）新冠病毒在進入人體后有一段時間的潛伏期，此期間為病毒傳播的最佳時期，我們把與病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，假設每位密切接觸者不再接觸其他病毒感染者，10天內所有人不知情且生活照常．

（i）在不加任何防護措施的前提下，假設每位密切接觸者被感染的概率均為．第一天，若某位感染者產生名密切接觸者則第二天新增感染者平均人數為ap；第二天，若每位感染者都產生a名密切接觸者，則第三天新增感染者平均人數為；以此類推，記由一名感染者引發的病毒傳播的第n天新增感染者平均人數為．寫出，；

（ii）在（i）的條件下，若所有人都配戴口罩后，假設每位密切接觸者被感染的概率均為，且滿足關系，此時，記由一名感染者引發的病毒傳播的第n天新增感染者平均人數為．當最大，且時，根據和的值說明戴口罩的必要性．（精確到）

參考公式：函數的導函數；

參考數據：，，．

Answer 1

【答案】（1）甲地區比乙地區新增人數的平均數低，甲地區比乙地區的方差大；（2）（i），，，，（ii）說明戴口罩很有必要，詳解見解析.

【解析】

（1）根據統計折線圖直接寫出結論即可；

（2）（i）由題知第二天后累計感染者人數為，所以第三天新增感染者人數有，則累計感染者人數為；所以第四天新增感染者人數為，依次類推得，，；

（ii）先求，求導函數，計算出的最大值，確定，，然后求出，，比較大小說明戴口罩很有必要.

（1）甲地區比乙地區新增人數的平均數低，甲地區比乙地區的方差大；

（2）（i）由題知第二天后累計感染者人數為，所以第三天新增感染者人數有，則累計感染者人數為；所以第四天新增感染者人數為，依次類推得；

（ii）令，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

故，

所以當時，取得最大值0.1，

此時，

，

∵，

∴戴口罩很有必要．