Question

過點P（0，1）作直線l交圓C：x²+y²=4與兩點，過其中任一點A作直線l的垂線交圓于點B，當直線l繞點P轉動時，則AB最長為

 

．

Answer 1

分析：設AC的中點為D，則OD⊥AC，OD是三角形ABC的中位線，當OD最大時，AB最大，故點P和D重合時，AC最小，OD最大，AB最長為2•OD=2•OP=2，即得答案．

解答：解：設直線l交圓與A、C 兩點，設AC的中點為D，則OD⊥AC，∴OD∥AB，OD是三角形ABC的中位線，
∴OD=

1

2

AB，當OD最小時，AB最大，Rt△ODC中，要OD最小，需CD最小，需AC最小．
直線l 過點P（0，1），故點P和D重合時，AC最小．此時，直線l斜率為0，AB最長為2•OD=2•OP=2，
故答案為 2．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，判斷當OD最小時，AB最小，是解題的關鍵．