Question

已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x²-y²=1有相同的焦點，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點，M為橢圓上任一點（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點P，過P作直線MB的垂線x軸于點Q，Q的坐標；
（3）求點P在直線MB上射R的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）由題意知，雙曲線4x²-y²=1，∴c=1，
∵橢圓的離心率為e=，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓方程為 （3分）
（2）設M（x，y），P（4，z），則，得，故．
設Q（x₀，0），由PQ⊥MB得：，
又M在橢圓上，故x²=4-，化簡得，即Q（，0）（8分）
（3）點P在直線MB上射影即PQ與MB的交點H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，
設E為QB中點，則|HE|=|QB|=，E（，0），
因此H點的軌跡方程為（13分）
分析：（1）先確定雙曲線中c的值，再利用橢圓的離心率，即可確定橢圓的方程；
（2）設M（x，y），P（4，z），則可得，利用PQ⊥MB及M在橢圓上，即可求Q的坐標；
（3）點P在直線MB上射影即PQ與MB的交點H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，從而可求H點的軌跡方程．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查軌跡方程，解題的關鍵是確定橢圓中的幾何量，利用垂直關系，建立等式，屬于中檔題．