Question

（2012•漳州模擬）3月是植樹造林的最佳時節，公園打算在3.12植樹節前后引種一批名優樹種．現有甲、乙兩家苗木場各送來一批同種樹苗．公園園林部分別各抽取100棵測量其高度，得到如下的頻率分布表：

高度（cm）		[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
頻 率	甲苗木場	0.18	0.24	0.26	0.32
	乙苗木場	0.20	0.30	0.30	0.20

（Ⅰ）分別算出甲、乙兩家苗木場樹苗樣本高度的平均值

.

X

甲，

.

X

乙；
（樣本數據第i組的頻率為p_i，中間值為x_i（i=1，2，…，n），則平均值為

.

X

=x1p1+x2p2+…+x_np_n．）
（Ⅱ）根據樣本數據可算得兩個方差：

S

2 甲

=120.16，

S

2 乙

=105.0，結合（Ⅰ）中算出的數據，如果你是公園園林部主管，你將選擇哪家苗木場的樹苗？說明你的觀點；
（Ⅲ）用分層抽樣方法從乙苗木場的樣本中抽取10棵，小林同學從這10棵中挑選2棵試種，其中高度在[90，100]范圍的有X棵，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據平均值為

.

X

=x1p1+x2p2+…+x_np_n，即可算出甲、乙兩家苗木場樹苗樣本高度的平均值

.

X

甲，

.

X

乙；
（Ⅱ）觀點一：選擇乙場的樹苗，因為其提供的樹苗高度方差較小，成長較整齊，種在公園里比較好看．
觀點二：選擇甲場的樹苗，因為其提供的樹苗平均高度較大，說明長勢較好，且方差較大，種在公園里顯得高矮錯落有致，更能體現空間美感．
（Ⅲ）10棵中高度在[90，100]的有2棵，X可取值為0，1，2，X服從超幾何分布，，計算其概率，可得X的分布列和數學期望．

解答：解：（Ⅰ）

.

X

甲=65×0.18+75×0.24+85×0.26+95×0.32=82.2，

.

X

乙=65×0.20+75×0.30+85×0.30+95×0.20=80.0，
（Ⅱ）觀點一：選擇乙場的樹苗，因為其提供的樹苗高度方差較小，成長較整齊，種在公園里比較好看．
觀點二：選擇甲場的樹苗，因為其提供的樹苗平均高度較大，說明長勢較好，且方差較大，種在公園里顯得高矮錯落有致，更能體現空間美感．
（注：兩種觀點各有其理，只要能依據統計數據說明自己的觀點，一樣得分．）    
（Ⅲ）10棵中高度在[90，100]的有2棵，X可取值為0，1，2，X服從超幾何分布，
P(X=0)=

C 0 2 C 2 8

C 2 10

=

28

45

，P(X=1)=

C 1 2 C 1 8

C 2 10

=

16

45

，P(X=2)=

C 2 2 C 0 8

C 2 10

=

1

45

，
故X的分布列為：

X	0	1	2
P	28 45	16 45	1 45

E(X)=0×

28

45

+1×

16

45

+2×

1

45

=

2

5

．

點評：本題考查統計知識，考查離散型隨機變量的分布列與期望，正確運用公式是關鍵．