Question

已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）。
（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
（2）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍。

Answer 1

（1）最大值為0，最小值。（2）。

解析試題分析：（1）當時，，，…………2分
則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，……………
又，則，        ………………5分
。                           …………………6分
（2），則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，
又，則函數(shù)的值域為。………………8分
則轉(zhuǎn)化為：當時，在區(qū)間上有兩個不同的根。…………9分
而。
當時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意。…………………10分
當時，有，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，
不符合題意。                                         ………………………11分
當時，有，此時函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，而當趨于零時，趨于正無窮，且最小值為。
要使在區(qū)間上有兩個不同的根，則。 ………12分
又，且，故只要，得。
而，從而有。          ……14分
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；導數(shù)的綜合應(yīng)用。
點評：在高考中，重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值，以及利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題。多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題目。