Question

（2005•靜安區一模）已知等差數列{a_n}的首項為p，公差為d（d＞0）．對于不同的自然數n，直線x=a_n與x軸和指數函數f(x)=(

1

2

)x的圖象分別交于點A_n與B_n（如圖所示），記B_n的坐標為（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面積分別為s₁和s₂，一般地記直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積為s_n．
（1）求證數列{s_n}是公比絕對值小于1的等比數列；
（2）設{a_n}的公差d=1，是否存在這樣的正整數n，構成以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長的三角形？并請說明理由；
（3）（理）設{a_n}的公差d（d＞0）為已知常數，是否存在這樣的實數p使得（1）中無窮等比數列{s_n}各項的和S＞2010？并請說明理由．
（4）（文）設{a_n}的公差d=1，是否存在這樣的實數p使得（1）中無窮等比數列{s_n}各項的和S＞2010？如果存在，給出一個符合條件的p值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1））a_n=p+（n-1）d，直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的兩底長度AnBn=f（a_n），A_n+1B_n+1=f（a_n+1）．高為A_nA_n+1 =d，利用梯形面積公式表示出s_n．利用等比數列定義進行證明即可．
（2）a_n=-1+（n-1）=n-2，bn=(

1

2

)n-2，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形，則b_n+2+b_n+1＞b_n考查次不等式解的情況作解答．
（3）利用無窮等比數列求和公式，將S＞2010 化簡為S=

d(2d+1)

2p+1(2d-1)

＞2010，則2p＜

d(2d+1)

2×2010×(2d-1)

探討p的存在性．
（4）利用無窮等比數列求和公式，將S＞2010 化簡為 S=

3

2p+1

＞2010，探討p的存在性．

解答：解：（1）a_n=p+（n-1）d，bn=(

1

2

)p+(n-1)d（2分）sn=

d

2

[(

1

2

)p+(n-1)d+(

1

2

)p+nd]=

d

2

•(

1

2

)p•[(

1

2

)(n-1)d+(

1

2

)nd]，
對于任意自然數n，

sn+1

sn

=

( 1 2 )nd+( 1 2 )(n+1)d

( 1 2 )(n-1)d+( 1 2 )nd

=

1+( 1 2 )d

2d+1

=(

1

2

)d，
所以數列{s_n}是等比數列且公比q=(

1

2

)d，
因為d＞0，所以|q|＜1（4分）
（寫成sn=

d

2

[(

1

2

)a1+nd+(

1

2

)a1+(n-1)d]=d•(1+2d)•(

1

2

)a1+1•(

1

2

)nd，得公比q=(

1

2

)d也可）
（2）a_n=-1+（n-1）=n-2，bn=(

1

2

)n-2，
對每個正整數n，b_n＞b_n+1＞b_n+2（6分）
若以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長能構成一個三角形，
則b_n+2+b_n+1＞b_n，即(

1

2

)n+(

1

2

)n-1＞(

1

2

)n-2，1+2＞4，
這是不可能的         （9分）
所以對每一個正整數n，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長不能構成三角形            （10分）
（3）（理）由（1）知，0＜q＜1，s1=

d(1+2d)

2p+1•2d

（11分）
所以S=

s1

1-q

=

d(2d+1)

2p+1(2d-1)

（14分）
若S=

d(2d+1)

2p+1(2d-1)

＞2010，則2p＜

d(2d+1)

2×2010×(2d-1)

（16分）
兩邊取對數，知只要a₁=p取值為小于log2

d(2d+1)

2×2010×(2d-1)

的實數，就有S＞2010（18分）
說明：如果分別給出a₁與d的具體值，說明清楚問題，也參照前面的評分標準酌情給分，但不得超過該部分分值的一半．
（4）（文）s1=

3

22+p

，q=

1

2

（11分）
所以S=

s1

1-q

=

3

2p+1

（14分）
如果存在p使得S=

3

2p+1

＞2010，即2p＜

3

4020

=

1

1340

（16分）
兩邊取對數得：p＜-log₂1340，
因此符合條件的p值存在，log₂1340≈10.4，可取p=-11等               （18分）
說明：通過具體的p值，驗證S=

3

2p+1

＞2010也可．

點評：本題是函數與數列、不等式的結合．考查等比數列的判定，含參數不等式解的討論．考查分析解決問題，計算，邏輯思維等能力．