Question

（2013•日照一模）定義域為R的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2）時，f(x)=

x2-x，x∈[0，1) -(0.5)|x-1.5|，x∈[1，2)

若x∈[-4，-2]時，f(x)≥

t

4

-

1

2t

恒成立，則實數t的取值范圍是（　　）

A．[-2，0）∪（0，l）

B．[-2，0）∪[l，+∞）

C．[-2，l]

D．（-∞，-2]∪（0，l]

Answer 1

分析：由x∈[-4，-2]時，f(x)≥

t

4

-

1

2t

恒成立，則

t

4

-

1

2t

不大于x∈[-4，-2]時f（x）的最小值，根據f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2）時，f(x)=

x2-x，x∈[0，1) -(0.5)|x-1.5|，x∈[1，2)

，求出x∈[-4，-2]時f（x）的最小值，構造分式不等式，解不等式可得答案．

解答：解：當x∈[0，1）時，f（x）=x²-x∈[-

1

4

，0]
當x∈[1，2）時，f（x）=-（0.5）^|x-1.5|∈[-1，-

2

2

]
∴當x∈[0，2）時，f（x）的最小值為-1
又∵函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），
當x∈[-2，0）時，f（x）的最小值為-

1

2

當x∈[-4，-2）時，f（x）的最小值為-

1

4

若x∈[-4，-2]時，f(x)≥

t

4

-

1

2t

恒成立，
∴

t

4

-

1

2t

≤-

1

4

即

(t+2)(t-1)

4t

≤0
即4t（t+2）（t-1）≤0且t≠0
解得：t∈（-∞，-2]∪（0，l]
故選D

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，函數的最值，分式不等式的解法，高次不等式的解法，是函數、不等式的綜合應用，難度較大．