Question

【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍，且過點C（2，1），點C關于原點O的對稱點為點D．
（1）求橢圓E的方程；
（2）點P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由：
（3）平行于CD的直線l交橢圓E于M，N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2a=22b，∴a=2b．

設橢圓方程為 ．

橢圓E過點C（2，1），

代入橢圓方程得 ，解得 ，則 ，

所以所求橢圓E的方程為 ；

（2）解：依題意得D（﹣2，﹣1）在橢圓E上．

CP和DP的斜率KCP和KDP均存在．

設P（x，y），則 ， ，

①

又∵點P在橢圓E上，

∴ ，∴x2=8﹣4y2，代入①得，

．

所以CP和DP的斜率KCP和KDP之積為定值

（3）解：CD的斜率為 ，∵CD平行于直線l，∴設直線l的方程為 ．

由 ，

消去y，整理得x2+2tx+（2t2﹣4）=0．

設M（x1，y1），N（x2，y2）．

由 ，得|MN|=

= ．

．

所以，

當且僅當t2=4﹣t2時取等號，即t2=2時取等號

所以△MNC面積的最大值為2．

此時直線l的方程

【解析】（1）由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設出橢圓的方程，把點C的坐標代入橢圓方程可求解b，則橢圓的方程可求；（2）設出P點的坐標，寫出直線CP和DP的斜率，由點P在橢圓上得到P點橫縱坐標的關系式，代入斜率乘積的表達式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值；（3）由直線l平行于CD，設出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯立后求出弦MN的長度，由點到直線的距離公式求出C到MN的距離，代入面積公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面積最大時的直線l的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．