Question

直線l過點(diǎn)P（-2，1）且斜率為k（k＞1），將直線l繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45⁰得直線m，若m和l分別與y軸交于R，Q兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，△PQR的面積最小，求此最小值．

Answer 1

分析：用點(diǎn)斜式求出m和l的方程，求出R，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算△PQR 的面積，變形后應(yīng)用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：設(shè)l的傾斜角為α，則tanα=k，由k＞1知   45°＜α＜90°，∴m的傾斜角為α+45°，m的斜率為k′=

1+k

1-k

，
∴l(xiāng)的方程為y-1=k（x+2），m的方程為y-1=

1+k

1-k

(x+2)；  令x=0得：y_Q=2k+1，yR=

k+3

1-k

，
∴S△PQR=

1

2

|yQ-yR|×|-2|=|

2(k2+1)

k-1

|=2[(k-1)+

2

(k-1)

+2]≥4(

2

+1)．
由k-1=

2

k-1

，得k=

2

+1，或k=1-

2

（舍），∴當(dāng)k=

2

+1時(shí)，
S_△PQR取得最小值4(

2

+1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一條直線到另一直線的角的定義，直線的點(diǎn)斜式方程，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)以及基本不等式的應(yīng)用．
把三角形的面積表達(dá)式變形后應(yīng)用基本不等式是本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．