Question

(本題滿分14分)

已知點及圓：.

（Ⅰ）若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；

（Ⅱ）設過直線與圓交于、兩點，當時，求以為直徑的圓的方程；

（Ⅲ）設直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得過點的直線 垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或;（Ⅱ）.（Ⅲ）不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）圓C的圓心為，半徑，                          1分

設直線的斜率為（存在）則方程為.

由 ，解得.                                   3分

所以直線方程為，即 .                    4分

當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件.            5分

（Ⅱ）由于，而弦心距，                7分

所以.所以為的中點.

故以為直徑的圓的方程為.                      9分

（Ⅲ）把直線即．代入圓的方程，

消去，整理得．

由于直線交圓于兩點，

故，即，解得．            11分

則實數的取值范圍是．設符合條件的實數存在，

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以的斜率，而，所以．             13分

由于，

故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．           14分

考點：本題考查了直線與圓的位置關系

點評：直線和圓的位置關系時除了用代數的方法外，還常常用到圓的幾何性質，屬基礎