Question

（本題滿分14分
A．選修4-4：極坐標與參數方程在極坐標系中，直線l 的極坐標方程為θ=

π

3

（ρ∈R ），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數方程為

x=2cosα y=1+cos2α

（α 參數）．求直線l 和曲線C的交點P的直角坐標．
B．選修4-5：不等式選講
設實數x，y，z 滿足x+y+2z=6，求x²+y²+z² 的最小值，并求此時x，y，z 的值．

Answer 1

分析：A． 先得出直線l 的普通方程為y=

3

x，和曲線C 的直角坐標方程為y=

1

2

x2(x∈[-2，2])再聯立解方程組得

x=0 y=0

或

x=2 3 y=6

即可求得P 點的直角坐標；
B．根據一般形式的柯西不等式得出：（x²+y²+z²）（1²+1²+2²）≥（x+y+2z）²=36，從而得出求x²+y²+z² 的最小值．

解答：解：直線l 的普通方程為y=

3

x，
曲線C 的直角坐標方程為y=

1

2

x2(x∈[-2，2])，…（4分）
聯立解方程組得

x=0 y=0

或

x=2 3 y=6

（舍去）
故P 點的直角坐標為（0，0）．…（7分）

B．解：∵（x²+y²+z²）（1²+1²+2²）≥（x+y+2z）²=36，
∴（x²+y²+z²）≥6，當且僅當x=y=

z

2

 時取等號，…（4分）
∵x+y+2z=6，∴x=1，y=1，z=2．
∴x²+y²+z² 的最小值為6，此時x=1，y=1，z=2．…（7分）

點評：本小題主要考查簡單曲線的極坐標方程、拋物線的參數方程、一般形式的柯西不等式等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．